Tres en uno

Dado un cuadrado de lado calcular los radios de las circunferencias.

geo1

Empecemos con la circunferencia roja

Para calcular el radio de esta circunferencia tenemos que encontrar un triángulo rectángulo que relacione el radio que llamaremos y el lado del cuadrado.

Como es tangente a la semicircunferencia, los dos centros están en la misma recta, luego podemos tomar el siguiente triángulo rectángulo.

geo2

La hipotenusa de este triángulo será: y los catetos serán respectivamente, y

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:

Resolviendo esta ecuación llegamos a:

Veamos ahora el radio de la circunferencia azul. Para ello dibujamos dos triángulos rectángulos que relacionan las variables y .

sangaku1

Llamemos a la distancia desde el punto de tangencia de la circunferencia con el lado del cuadrado al punto medio de este lado. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la siguiente relación:

Por otro lado, tenemos otro triángulo rectángulo al unir el centro de la circunferencia con el punto medio del otro lado del cuadrado, por ser el centro de la circunferencia tangente. Así­ los dos centros están alineados junto con el punto de tangencia, y por tanto este segmento medirá la suma de los radios respectivos. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la siguiente relación:

Despejando en la primera ecuación, sustituyendo en la segunda y operando:

Y por tanto tenemos:

Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación y simplificando llegamos a la solución:

Esta será la solución analí­tica al problema. Consideremos ahora la construcción con regla y compás de estas tres circunferencias dado el cuadrado.

Vamos a resolver este problema de tangencias por potencias. Veamos primero la circunferencia roja. Partimos pues de este cuadrado y estas dos circunferencias:

iniciotag1

Pero vamos a considerar un problema auxiliar. Restamos el radio a las circunferencias, quedando estas reducidas a dos puntos (sus centros), desplazamos paralelamente esa misma distancia a la recta que pasa por el lado del cuadrado. Si conseguimos construir la circunferencia tangente a esta nueva recta pasando por los dos centros, bastará restar esa distancia a su radio para obtener la solución buscada.

2tag1

Luego hemos reducido el problema a construir la circunferencia que pasa por dos puntos dados y y es tangente a una recta .

Se traza la recta que pasa por y . Esta será el eje radical de todas las circunferencias que pasen por esos dos puntos y cortará a la recta , en un punto, , que tendrá la misma potencia respecto de todas las circunferencias que pasan por y . Es decir la longitud del segmento tangente será la misma para todo el haz de circunferencias, también para la que estamos buscando.

Veamos esta propiedad del eje radical en general:

Si partimos de dos circunferencias, que puedes cambiar arrastrando los puntos A y B o los puntos que determinan sus respectivos radios. Construimos el eje radical ( en rojo). Cualquier punto sobre el eje tendrá la misma potencia respecto a todo el haz de circunferencias que pasan por estos dos puntos. Puedes mover J para comprobarlo.

Tomemos pues una cualquiera que pase por esos dos puntos, para ello construimos la mediatriz del segmento que une los dos puntos y elegimos un punto cualquiera como centro de esta circunferencia auxiliar.

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Trazamos la tangente desde a esa circunferencia auxiliar, esta determinará el segmento tangente y esa distancia será por tanto la que separa del punto de tangencia de la circunferencia buscada, pues pertenece al haz de circunferencias que pasan por esos dos puntos.

4tag1

Ahora basta trazar la perpendicular a desde este punto para encontrar el centro de la circunferencia buscada en la mediatriz del segmento que une las dos puntos dados, ya que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos dados y por tanto el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias del haz.

5tag1

La circunferencia buscada tendrá por tanto este centro y será tangente en el punto donde la perpendicular corta al lado del cuadrado.

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El proceso en geogebra:

Veamos ahora la construcción de las otras dos circunferencias.

Antes de empezar a dibujar, vamos a tener en cuenta un resultado cierto para cualquier par de circunferencias y tangentes entre sí­ y tangentes a una recta .

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Sea el punto de tangencia de la circunferencia con la recta tangente . Sea el extremo del diámetro determinado por la recta perpendicular a la recta tangente por . Si es el punto de tangencia de con la recta tangente , el segmento que une y pasa por el punto , el punto de tangencia de las dos circunferencias.

Entonces siempre se verifica que la potencia de con respecto a es precisamente el cuadrado del diámetro . Y por tanto la longitud del segmento tangente que determina la tangente del punto a la circunferencia

Para demostrar este resultado, podemos considerar la semejanza de los triángulos rectángulos y , semejantes por tener el ángulo de común y tener ángulos rectos en y respectivamente. ( es un punto de la circunferencia que abarca un diámetro, luego es recto).

Vemos una animación con esta demostración:

potencias1

Volvamos ahora a nuestro sangaku, vamos a dibujar la circunferencia tangente a la base del cuadrado. La otra se construye análogamente o bien por simetría respecto de la diagonal del cuadrado ( eje radical de las dos circunferencias dadas).

Aplicando esto que hemos visto a nuestro caso particular, la longitud del segmento tangente desde la esquina superior izquierda del cuadrado a la circunferencia que buscamos es precisamente el lado del cuadrado. Luego basta llevar esta longitud para encontrar el punto de tangencia.

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Dibujamos esta recta tangente, que cortará a la recta que contiene el lado del cuadrado formando el ángulo . El centro de la circunferencia que buscamos estará en la bisectriz de este ángulo.

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El centro estará en el corte de esta bisectriz con la recta que une el punto de tangencia y el centro de la otra semicircunferencia que también es tangente.

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El proceso en geogebra:

Y la construcción en geogebra:

Enlace al archivo

Descarga desde geogebratube.

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

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