Lúnula de Hipócrates

radicales2

¿Qué área es mayor la azul o la roja?

Llamemos R al radio de la circunferencia mayor y r al radio de la menor.

lunula1

El área azul es la mitad de un cuadrado de radio R luego será

AreaAzul =\frac{R^2}{2}

El área roja, vamos a calcularla restando al área del círculo de radio r el área del sector circular y las otras dos lúnulas:

lunula2

El área del sector circular es un cuarto del área del círculo mayor:

SectorCircular = \frac{\pi R^2}{4}

El área de las otras dos lúnulas, podemos calcularlas como la resta del área del círculo menor y el cuadrado inscrito

lunula3

Arealunulas = \frac{1}{2}(\pi r^2-R^2)

Por tanto tenemos que el área roja es:

\pi r^2-\frac{\pi R^2}{4}-\frac{1}{2}(\pi r^2-R^2)

 

como r^2=\frac{R^2}{2}, operando llegamos a que el área de la lúnula es \frac{R^2}{2}, y por tanto son iguales las dos áreas.

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