Por poco…

¿Qué área es mayor, la azul o la roja?

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Aunque siempre hay diferentes formas de llegar a una solución, intentaré abordarlos para aplicar los teoremas que ya sabéis: Pitágoras, Thales, y otros corolarios que resultan de aplicar la semejanza de triángulos.

Por ser el semicírculo tangente a la diagonal del cuadrado, al unir el punto de tangencia con el centro de la circunferencia obtenemos un triángulo rectángulo semejante al que forman los lados del cuadrado y su diagonal.

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Si llamamos A,B,C,D a los vértices del cuadrado dado de lado l, tenemos el triángulo rectángulo que forman los lados con la diagonal del cuadrado \triangle{ABD}.

Sea H el punto de tangencia de la circunferencia con la diagonal y sea E su centro. Entonces el triángulo \triangle{HED} es rectángulo y proporcional al anterior por tener un ángulo común distinto del recto.

La diagonal mide \sqrt{2}l, y si llamamos r al radio del círculo, obtenemos las relaciones:

\frac{\sqrt{2}l}{l-r}=\frac{l}{r}

Operando llegamos a que r=l(\sqrt{2}-1)

El área azul es la mitad del cuadrado:

\frac{l^2}{2}

y el área roja es

\pi l^2(\sqrt{2}-1)^2

Como \frac{1}{2}=0.5<\pi (\sqrt{2}-1)^2 \approx 0.539

Llegamos a la conclusión de que el área roja es un poco mayor que el área azul.
Nota: Para la construcción geométrica de esta figura, dibujado el cuadrado y su diagonal, como la circunferencia es tangente a la base del cuadrado y a su diagonal, su centro estará en la bisectriz del ángulo que forman estas dos rectas y la intersección con el otro lado del cuadrado, perpendicular al punto de tangencia.
porpoco

Teniendo en cuenta la construcción geométrica, podríamos aplicar la proposición 3 del libro IV de los Elementos de Euclides, que dice que al trazar una bisectriz en un ángulo de un triángulo, esta determina un punto en el lado opuesto que divide a este lado en partes proporcionales a los otros dos lados del triángulo.

bisectric Llegando a la misma relación vista anteriormente.

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