Triángulo inscrito

reto3

Dado un Triángulo equilátero (¡qué bonitos son!) de lado a inscrito en una circunferencia, se construye otro a partir del punto medio de uno de sus lados, como muestra la figura, teniendo los otros dos vértices en la circunferencia. ¿Cuánto mide el lado de este triángulo?

Este es un precioso problema que podría resolverse aplicando Pitágoras, pero es mucho más sencillo si tenemos en cuenta la potencia del punto D, punto medio del lado del triángulo {ABC} respecto de la circunferencia circunscrita. La recta que contiene al segmento x es paralela a la base del triángulo y corta a la circunferencia en E y en otro punto que llamaremos H. Esta misma recta determina los puntos D y su simétrico en el triángulo respecto de la altura, llamémoslo J. Así el segmento \overline{HJ}=x=\overline{DE}

reto3_1

La potencia del punto D respecto de la circunferencia por estar en la mitad de un lado del triángulo será
(\frac{a}{2})^2
Y por otro lado, por estar en el segmento \overline{HE} será:

(x+\frac{a}{2})x

Ya que el segmento \overline{JD} es la mitad del lado a sin más que aplicar la semejanza en los triángulos ABC y JDC.

Igualando las dos expresiones, ya que la potencia de un punto siempre es la misma, operando y resolviendo, tomando la opción positiva, llegamos a:
x=\frac{a(\sqrt{5}-1)}{4}

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