En equilibrio

sangaku2

Dado un cuadrado de lado hallar los lados de las circunferencias. La circunferencia verde es tangente al cuadrado rojo interior y a los dos arcos que se forman desde los vértices. La circunferencia amarilla es tangente a los dos arcos y al lado del cuadrado dado.

Primero vamos a calcular el lado del cuadrado interior rojo. Para ello vamos a tener en cuenta lo siguiente, dada una semicircunferencia, cualquier recta perpendicular al diámetro que corte a la semicircunferencia, determina un segmento cuya longitud es media proporcional de los segmentos en los que queda dividido el diámetro por esta recta. Prueba a mover los extremos del diámetro o el punto que divide al diámetro.

Para demostrar esto solo hay que tener en cuenta el triángulo rectángulo que une los extremos del diámetro y el punto de la circunferencia determinado por la perpendicular. La altura de un triángulo rectángulo desde el vértice opuesto a la hipotenusa determina otros dos triángulos rectángulos que son semejantes.

mediaproporcional

Volvamos a nuestro caso particular, el lado del cuadrado rojo será media proporcional de los segmentos que determina sobre el diámetro de la circunferencia

sangaku 2

Llamando al lado del cuadrado rojo, tenemos la siguiente relación:

Operando llegamos a la siguiente ecuación:

Resolviendo y tomando la solución positiva, obtenemos el lado del cuadrado:

Veamos ahora la circunferencia verde, para ello consideramos el triángulo rectángulo que une su centro con el punto medio de la base del cuadrado y la esquina del cuadrado.

sangaku_2_3

Si llamamos al radio que buscamos, la hipotenusa de este triángulo rectángulo es , el cateto base es y el otro cateto que une el centro con la base del cuadrado será .

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos la siguiente relación:

Operando obtenemos el radio de la circunferencia verde:  

Para calcular el radio de la circunferencia amarilla, actuamos análogamente considerando el siguiente triángulo rectángulo

sangaku_2_4

Si llamamos a su radio, la hipotenusa de este triángulo rectángulo será , el cateto base igual que antes y el otro cateto medirá . Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

Resolviendo obtenemos el radio de la circunferencia amarilla:

Construcción con regla y compás.

Si consideramos la simetría de la figura, podemos observar que el punto medio del lado de la base del cuadrado exterior está alineado con la esquina del cuadrado rojo y la esquina del cuadrado exterior, ya que forman triángulos rectángulos con la proporción 2:1 en sus catetos. Luego basta dibujar esta línea y donde corte con el arco de la circunferencia obtendremos la esquina del cuadrado rojo.

sangaku_2_im1

Pintamos el cuadrado trazando paralelas a los lados del cuadrado exterior.

sangaku_2_im2

Para dibujar la circunferencia verde, vamos a considerar una circunferencia auxiliar cuyo centro esté en la perpendicular al lado del cuadrado por su punto medio y sea tangente a este. Esta circunferencia cortará a uno de los arcos en dos puntos que determinan el eje radical.

sangaku_2_img3

Este eje radical cortará a la recta del lado del cuadrado rojo, la recta tangente, en un punto el cual nos determina la distancia de la recta tangente para todas las circunferencias del haz, en particular para la que buscamos. Luego si llevamos esta distancia hasta que corte con el arco, este punto nos determinará el punto de tangencia de la circunferencia verde que buscamos.

sangaku_3_img4

Y por simetría podemos encontrar el otro punto de tangencia con el otro arco. Luego ya tenemos los tres puntos que determinan una circunferencia y podemos dibujarla.

sangaku_2_img5

Para dibujar la circunferencia amarilla, hacemos lo mismo. Trazamos una circunferencia auxiliar que tenga su centro en la perpendicular que pasa por el medio del lado del cuadrado y que sea tangente al lado del cuadrado (ahora el lado superior del cuadrado exterior, donde buscamos la tangencia).

sangaku_2_img6

Señalamos los puntos de corte de esta circunferencia auxiliar con el arco de circunferencia. Estos dos puntos determinan el eje radical, que cortará al lado del cuadrado exterior en un punto. este punto determinará la distancia de la recta tangente común a todo el haz, incluida la que buscamos. Luego subimos esta distancia hasta que corte con el arco y determine el punto de tangencia buscado.

sangaku_2_img7

Por simetría podemos señalar el otro punto de tangencia, así ya podemos dibujar la circunferencia amarilla pues tenemos los tres puntos que la determinan.

sangaku_2_imag8

Os dejo un vídeo con el proceso de construcción en geogebra

Y el applet: podéis utilizar la barra de navegación para seguir el proceso y hacer clic en los objetos que están escondidos para que se vean, en los círculos de la parte izquierda.

  Enlace del archivo en geogebratube.  

Un pensamiento en “En equilibrio

  1. Pingback: Samuray | C.q.d.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *