Cinco Tangentes

sangaku4
Dado un cuadrado y cinco circunferencias como en la figura, calcular el radio de las cinco circunferencias, sabiendo que son todas iguales.

Destaquemos el centro de la circunferencia central, que será también el centro del cuadrado. La figura tiene una simetría central en este punto. Consideremos la recta paralela a la base del cuadrado que pasa por el centro. Esta recta será tangente a las dos circunferencias, como muestra la figura:

sanguaku4_1

Llamemos d a la distancia del centro de la circunferencia central al punto de tangencia en una de ellas ( en la otra tenemos exactamente la misma distancia por la simetría). Si unimos los centros de estas dos circunferencias tenemos el siguiente triángulo rectángulo:

sangaku4_2

Si llamamos r al radio de las circunferencias y aplicamos Pitágoras en este triángulo, obtenemos la siguiente relación:

(2r)^2=r^2+d^2

De donde obtenemos la distancia d :

d=\sqrt{3}r

Por otro lado, si llamamos l al lado del cuadrado, tenemos:

l=2r+2d

Sustituyendo el valor de d obtenemos:

r=\frac{l(\sqrt{3}-1)}{4}

Construcción con regla y compás:

Para la construcción con regla y compás, observemos que estos dos ángulos son iguales, por tener sus lados paralelos:

sangaku4_3

Y por la relación entre la hipotenusa y un cateto 2:1, este triángulo es la mitad de un triángulo equilátero:

sangaku4_4

Luego el ángulo medirá 30º. Marcado este ángulo y la recta, podemos dibujar toda la figura mediante perpendiculares desde las esquinas del cuadrado. Y una vez obtenido el cuadrado interior por intersecciones de estas rectas, dibujamos la circunferencia tangente. Las demás son simétricas respecto de los lados de este cuadrado interior.

sangaku4_im1

Para marcar este ángulo, podemos dibujar un triángulo equilátero cuya base sea el lado del cuadrado.

sangaku4_5

La construcción en geogebra:

Y el proceso de construcción:

Enlace al archivo de descarga.  

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