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sangaku
El siguiente problema, propuesto por Watanabe Kiichi, aparece en un sangaku del templo budista de Abe Monju-in, en la prefectura de Tokushima, colgado en 1877. El problema dice así: “Considérese, como se muestra en la imagen, un triángulo equilátero de lado t, un cuadrado de lado s y un círculo, que se tocan entre sí, dentro de una triángulo rectángulo ABC, con lado vertical a. Encontrar t en función de a”.

Para que el círculo amarillo sea tangente a esas cuatro rectas, el centro debe equidistar de los cuatro lados, por tanto debe estar en las cuatro bisectrices. Consideremos la bisectriz del ángulo que forma el lado del triángulo equilátero con . Este ángulo mide 120º luego al dividirlo por la bisectriz tendremos un ángulo de 60º. Consideremos el triángulo rectángulo siguiente:

sangaku5_3

Si llamamos a la longitud del cateto menor, como forma un ángulo de 60º con la hipotenusa, está deberá medir (por ser la mitad de un triángulo equilátero). Aplicando Pitágoras en este triángulo obtenemos:

El otro triángulo rectángulo es exactamente igual, ya que sus ángulos son iguales y tienen en común la hipotenusa:

sangaku5_4

Consideremos ahora, el otro triángulo rectángulo que se forma en el otro lado del cuadrado, veamos que también es igual:

sangaku5_5

El ángulo en también mide 60º porque es complementario del ángulo en y este mide 30º por ser el ángulo del triángulo rectángulo formado a partir del triángulo equilátero:

sangaku5_6

Luego tiene los tres ángulos iguales y un lado coincide por ser el lado del cuadrado. Así tenemos que el lado es suma de un cateto y la hipotenusa de este triángulo:

El lado del triángulo equilátero rojo es suma de luego:

Tomando el cociente de y obtenemos:

Y por tanto llegamos a la solución del sangaku:

Construcción con regla y compás:

Partimos de un triángulo equilátero. Dibujamos la recta que contiene a la base y trazamos la perpendicular a un lado del triángulo, esta determinará el vértice del triángulo verde. Por otro lado dibujamos la bisectriz donde estará el centro de la circunferencia amarilla y la bisectriz de la esquina del cuadrado, estas se cortarán en un punto por donde pasará el otro lado del triángulo verde.

sangaku5_im1

Dibujamos las esquinas del cuadrado y la otra bisectriz que nos determinará el centro de la circunferencia.

sangaku5_im2

Una vez encontrado el centro, trazamos perpendicular a la base para encontrar el radio.

sangaku5_im3

Ya solo resta trazar la perpendicular por la esquina del cuadrado a la base y esta nos determina los vértices del triángulo verde.

sangaku5_im4  

El proceso en geogebra:

Enlace al archivo en geogebratube.

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