En partes iguales

sangaku6_001

El siguiente problema pertenece a una tablilla matemática colgada en 1873 en el santuario Katayamahiko, en la prefectura de Okayama, y dice así: “Sea un campo con la forma de un triángulo rectángulo ABC, con AC = 30 m y BC = 40 m. Como se muestra en la imagen, se quiere trazar un camino DEHKJIGF de anchura 2m, de forma que los tres trozos de campo que quedan tengan el misma área. Encontrar BE, DE, HC, JC, AI y FG”.

Veamos el área del primer triángulo: Dado BE=x la longitud de DE=l_{1} viene determinada por la inclinación de la recta AB, luego \frac{l_{1}}{x}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4} y por tanto l_{1}=\frac{3x}{4}. Así el área del triángulo será:

S=\frac{3x^2}{8}

Por otro lado, sea JC=y entonces el área del rectángulo será:

S=(40-x-2)y=(38-x)y

Consideremos la última parte dividida en dos: un rectángulo y un triángulo como en la siguiente imagen:  

sangaku6_1

l_{2} la altura del triángulo, viene determinada por la inclinación de la recta AB análogamente al anterior, obtenemos l_{2}=\frac{3(38-x)}{4} Y esta distancia determina a su vez a l_{3}=30-l_{2}-2-y.

El área será la suma del área del triángulo y el área del rectángulo en los que hemos dividido la última figura:

S=\frac{3(38-x)^2}{8}+(38-x)(28-y-\frac{3(38-x)}{4})

Igualando las dos últimas expresiones de S obtenemos el valor de y :

y=\frac{3x+110}{16}

Sustituyendo este valor en la segunda expresión de S e igualando con la primera :

\frac{3x^2}{8}=(38-x)(\frac{3x+110}{16})

Desarrollando y operando llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado:

9x^2-4x-4180=0

Tomando la solución positiva:

x=\frac{2+2\sqrt{9406}}{9}\approx 21,774 De aquí obtenemos el resto de valores:

l_{1}=\frac{3x}{4}=\frac{1+\sqrt{9406}}{6}\approx 16,330 l_{2}=\frac{3(38-x)}{4}=\frac{170-\sqrt{9406}}{6}\approx 12,169 y=\frac{3x+110}{16}=\frac{166+\sqrt{9406}}{24}\approx 10,957 l_{2}+l_{3}=28-y=\frac{506-\sqrt{9406}}{24}\approx 17,042 l_{3}=\frac{506-\sqrt{9406}}{24}-\frac{170-\sqrt{9406}}{6}=\frac{\sqrt{9406}-58}{8}\approx 4,873

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