Círculos

sangaku7

¿Qué área es mayor la verde o la roja?

Llamemos al radio de la circunferencia mayor, así será el radio del círculo negro. Calculemos el radio del círculo rojo. Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa une los radios de los círculos rojo y negro:

sangaku7_1

Si llamamos al cateto mayor y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente relación:

Por otro lado dibujamos otro triángulo rectángulo cuya hipotenusa une el centro del círculo rojo y el centro de la circunferencia mayor. (Son tangentes).

sangaku7_2

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos la siguiente relación:

Despejando en esta última y sustituyendo su valor en la primera, tenemos:

Operando y simplificando llegamos a:

Calculemos ahora el área verde. Esta área podemos obtenerla fácilmente restando al área del sector circular el área negra y el área roja:

Área del sector circular =

Área del semicírculo negro =

Área del círculo rojo =

Así el área verde será:

Luego las dos áreas son ¡exactamente iguales!

Construcción con regla y compás:

Veamos ahora la construcción de la circunferencia roja. Sabiendo que el radio de esta circunferencia es un cuarto del radio mayor, sería fácil la construcción, pero vamos a suponer que no conocemos este dato. Y este es nuestro punto de partida:

sangaku7_im1

Buscamos una circunferencia tangente a la recta y a las dos circunferencias. Como hemos hecho en otros dibujos, vamos a considerar un problema auxiliar: reducimos el círculo negro a su centro, es decir restamos a su radio, trasladamos la recta AC esa misma distancia , y aumentamos el radio de la circunferencia mayor esa misma distancia. Así reducimos el problema a otro: encontrar la circunferencia que pase por ese punto y sea tangente a la recta y a la circunferencia. Encontrada esta, bastaría restarle a su radio la misma distancia :

sangaku7_im2

Para este problema vamos a utilizar la inversión. Consideremos el punto que llamaremos como centro de la inversión y la constante la potencia de respecto de la circunferencia dada.

sangaku7_im3

Por medio de esta inversión, dado cualquier punto su imagen, , será un punto situado en la recta que une y tal que verifique: . Así la inversa de la circunferencia vuelve a ser ella misma. Dibujemos la inversa de la recta dada, para ello tomamos los dos puntos que cortan a la circunferencia y señalamos sus imágenes:

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La inversa de la recta será la circunferencia definida por estas dos imágenes y el punto

sangaku7_im5

Como la inversión mantiene las tangencias, bastará dibujar la recta tangente a las dos circunferencias y calcular la inversa de esta recta que será la circunferencia buscada.

sangaku7_im6

Dibujamos los inversos de los puntos de tangencia de la recta.

sangaku7_im7

Ya podemos dibujar la circunferencia buscada, pues está determinada por estos dos puntos y

sangaku7_im8

Y restando a su radio, obtenemos finalmente nuestra circunferencia:

sangaku7_im9

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