Círculos

sangaku7

¿Qué área es mayor la verde o la roja?

Llamemos R al radio de la circunferencia mayor, así \frac{R}{2} será el radio del círculo negro. Calculemos el radio r del círculo rojo. Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa une los radios de los círculos rojo y negro:

sangaku7_1

Si llamamos x al cateto mayor y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente relación:

(\frac{R}{2}+r)^2=(\frac{R}{2}-r)^2+x^2

Por otro lado dibujamos otro triángulo rectángulo cuya hipotenusa une el centro del círculo rojo y el centro de la circunferencia mayor. (Son tangentes).

sangaku7_2

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos la siguiente relación:

(R-r)^2=r^2+x^2

Despejando x en esta última y sustituyendo su valor en la primera, tenemos:

(\frac{R}{2}+r)^2=(\frac{R}{2}-r)^2+(R-r)^2-r^2

Operando y simplificando llegamos a:

r=\frac{R}{4}

Calculemos ahora el área verde. Esta área podemos obtenerla fácilmente restando al área del sector circular el área negra y el área roja:

Área del sector circular = \frac{\pi R^2}{4}

Área del semicírculo negro = \frac{\pi (\frac{R}{2})^2}{2}=\frac{\pi R^2}{8}

Área del círculo rojo = \pi (\frac{R}{4})^2=\frac{\pi R^2}{16}

Así el área verde será:

\frac{\pi R^2}{4}-\frac{\pi R^2}{8}-\frac{\pi R^2}{16}=\frac{\pi R^2}{16}

Luego las dos áreas son ¡exactamente iguales!

Construcción con regla y compás:

Veamos ahora la construcción de la circunferencia roja. Sabiendo que el radio de esta circunferencia es un cuarto del radio mayor, sería fácil la construcción, pero vamos a suponer que no conocemos este dato. Y este es nuestro punto de partida:

sangaku7_im1

Buscamos una circunferencia tangente a la recta AC y a las dos circunferencias. Como hemos hecho en otros dibujos, vamos a considerar un problema auxiliar: reducimos el círculo negro a su centro, es decir restamos r a su radio, trasladamos la recta AC esa misma distancia r, y aumentamos el radio de la circunferencia mayor esa misma distancia. Así reducimos el problema a otro: encontrar la circunferencia que pase por ese punto y sea tangente a la recta y a la circunferencia. Encontrada esta, bastaría restarle a su radio la misma distancia r:

sangaku7_im2

Para este problema vamos a utilizar la inversión. Consideremos el punto que llamaremos P como centro de la inversión y la constante K la potencia de P respecto de la circunferencia dada.

sangaku7_im3

Por medio de esta inversión, dado cualquier punto A su imagen, A', será un punto situado en la recta que une A y P tal que verifique: PA \cdot PA'=K. Así la inversa de la circunferencia vuelve a ser ella misma. Dibujemos la inversa de la recta dada, para ello tomamos los dos puntos que cortan a la circunferencia y señalamos sus imágenes:

sangaku7_im4

La inversa de la recta será la circunferencia definida por estas dos imágenes y el punto P

sangaku7_im5

Como la inversión mantiene las tangencias, bastará dibujar la recta tangente a las dos circunferencias y calcular la inversa de esta recta que será la circunferencia buscada.

sangaku7_im6

Dibujamos los inversos de los puntos de tangencia de la recta.

sangaku7_im7

Ya podemos dibujar la circunferencia buscada, pues está determinada por estos dos puntos y P

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Y restando r a su radio, obtenemos finalmente nuestra circunferencia:

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