El guardián

sangaku8

Dado una circunferencia de radio R se incriben en ella un cuadrado y un triángulo equilátero con un vértice común. Calcular los radios de las circunferencias tangentes a los lados del cuadrado y del triángulo como muestra la figura.

Veamos primero las circunferencias gemelas. Consideremos el siguiente triángulo ABC donde la circunferencia está inscrita:

sangaku8_1

El lado del cuadrado es \sqrt{2} R sin más que aplicar Pitágoras al triángulo formado por la mitad del cuadrado.

Por la simetría de la figura, el ángulo en A es de 15º, puesto que es la mitad del ángulo que resulta al restar del ángulo recto del cuadrado el ángulo de 60º del triángulo equilátero. Entonces la relación que hay entre los dos catetos del triángulo ABC es:

\frac{x}{\sqrt{2} R}=tan(15)=2-\sqrt{3}

Luego:

x=(2-\sqrt{3})\sqrt{2} R

Aplicamos Pitágoras al triángulo ABC

h^2=(\sqrt{2}R)^2+((2-\sqrt{3})\sqrt{2} R)^2 h=\sqrt{16-8\sqrt{3}} R

Por otro lado, teniendo en cuenta el punto de tangencia, y llamando r al radio de la circunferencia que buscamos, podemos expresar la hipotenusa como:

h=(\sqrt{2} R-r)+((2-\sqrt{3})\sqrt{2} R-r)=(3-\sqrt{3})\sqrt{2}R-2r

Igualando ambas expresiones de la hipotenusa, obtenemos:

\sqrt{16-8\sqrt{3}} R=(3-\sqrt{3})\sqrt{2}R-2r

Operando y despejando el radio:

r=\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{16-8\sqrt{3}})R}{2}

 

Veamos ahora la circunferencia roja.

El centro de la circunferencia dada y el baricentro del triángulo equilátero inscrito coinciden, luego el lado del triángulo divide por la mitad al radio de la circunferencia dada. Además el triángulo ABC que se forma es isósceles por ser proporcional al formado por dos radios y el lado del cuadrado.

sangaku8_2

El lado AC es la suma del radio de la circunferencia roja y la diagonal de un cuadrado de lado el mismo radio, así:

\frac{R}{2}=r+\sqrt{2} r=(1+\sqrt{2}) r r=\frac{R(\sqrt{2}-1)}{2}

 

Construcción con regla y compás

Se construye el cuadrado a partir de un punto cualquiera de la circunferencia dada, uniendo con el centro, esta será una diagonal que determina otro vértice del cuadrado. Trazando la perpendicular por el centro, construimos la otra diagonal que determina los otros dos vértices. El triángulo podemos construirlo trazando una perpendicular por el punto medio del radio en la diagonal del cuadrado correspondiente. Esta recta determina los otros dos vértices del triángulo.

Para trazar una de las circunferencias, basta trazar las bisectrices de los triángulos formados por los lados del cuadrado y del triángulo equilátero. El punto de corte de las bisectrices determinan el centro del triángulo inscrito. Para obtener el radio, trazamos una perpendicular a uno de las lados y señalamos el punto de corte.

 

 

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