Encajados

sangaku9

Dado un cuadrado de lado l, dibujamos un triángulo equilátero en uno de sus lados. Trazamos el segmento que une el vértice del triángulo con la esquina del cuadrado. Dibujamos las circunferencias tangentes como en la figura dada. Calcular los radios de estas dos circunferencias.

Si trazamos la altura del triángulo equilátero y continuamos hasta el lado del cuadrado opuesto a la base, obtenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la base de otro triángulo \triangle VBD, isósceles (puesto que sus otros dos lados miden l), donde está inscrita la circunferencia verde.

Consideremos los ángulos que se forman. Sabemos que el ángulo del triángulo equilátero es de 60º, así el complementario será 30º. Como el triángulo es isósceles, los otros dos ángulos medirán (180-30)/2, es decir 75º y su complementario 15º.

Sea a=\overline{MD}

a es la altura desde D a \overline{VB}, además coincide con la bisectriz luego divide al ángulo de 30º en dos iguales de 15º. Así se forma el triángulo rectángulo \triangle VMD, donde el seno de 75º es el cociente entre a y l. Por tanto:

sen(75)=\frac{a}{l}\Rightarrow a=l\cdot sen(75)=l(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})

Por otro lado tenemos el triángulo rectángulo que forma el radio de la circunferencia verde con el lado del triángulo en su punto de tangencia, es decir el triángulo \triangle POD y cuyo ángulo en O es de 75º. Así obtenemos la siguiente relación:

cos(75)=\frac{r}{a-r}\Rightarrow (a-r)cos(75)=r

Sustituyendo el valor de a y cos(75)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} obtenemos:

(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}l-r)(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=r

Operando llegamos a:

r=\frac{l}{4+\sqrt{6}-\sqrt{2}}

Y racionalizando llegamos a esta expresión:

r=\frac{8+5\sqrt{2}-4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4}l

Calculemos ahora el radio del círculo rojo.

sangaku9_2

Consideremos el triángulo rectángulo \triangle ABE. El lado \overline{AE} será igual al producto de la tangente de 15º por el lado del cuadrado. Y podremos calcular la distancia \overline{CE} restando ese valor al lado del cuadrado. Luego:

\overline{AE}=l\cdot tg(15)=(2-\sqrt{3})l \overline{CE}=l-(2-\sqrt{3})l=(\sqrt{3}-1)l

Por otro lado podemos calcular también el lado \overline{EB} , la hipotenusa en este triángulo rectángulo \triangle ABE utilizando el coseno de 15º ( cos(15)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} ):

cos(15)=\frac{l}{\overline{EB}}\Rightarrow \overline{EB}=\frac{l}{cos(15)} \overline{EB}=\frac{4l}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=(\sqrt{6}-\sqrt{2})l

El vértice V divide a este segmento en dos partes iguales, luego:

\overline{EV}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}l

Consideremos ahora los puntos de tangencia y llamemos:

x=\overline{EF}=\overline{EH} y=\overline{FC}=\overline{CG} z=\overline{HV}=\overline{VG}

Así tenemos las siguientes relaciones:

\left.\begin{array}{rcl} x+y & = &(\sqrt{3}-1)l\\\ y+z & = &l\\\ x+z & = &\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}l\end{array}\right\}

 

Resolviendo el sistema obtenemos:

y=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}l

Uniendo y=\overline{CF} con el centro de la circunferencia, sea O , obtenemos un triángulo rectángulo \triangle FOC con ángulo en C igual a 15º. Así:

tg(15)=\frac{r}{y} \Rightarrow r=y\cdot tg(15)=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}l(2-\sqrt{3})

Operando llegamos a la expresión:

r=\frac{5\sqrt{2}+4\sqrt{3}-3\sqrt{6}-6}{4}l

 

Construcción con regla y compás:

Basta trazar las bisectrices en los triángulos que se forman con los lados del triángulo, estas determinan los centros de las circunferencias inscritas. Para obtener el radio basta con trazar una perpendicular desde el centro a uno de los lados del triángulo para obtener el punto de tangencia y con él, el radio de la circunferencia inscrita en cada triángulo.

 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *