Uno para todos

sangaku10

Dada una circunferencia, se traza un diámetro, en una mitad se dibuja un triángulo equilátero y la otra mitad es el diámetro de otra circunferencia tangente. Se dibujan otras dos circunferencias tangentes a esta, al triángulo y a la circunferencia dada, como en la figura. Calcular estos dos radios.

Veamos primero la circunferencia azul:

Trazamos segmentos que unan los centros que determinan los puntos de tangencia. Así obtenemos el siguiente triángulo rectángulo:

sangaku10_1

Llamemos al radio de la circunferencia azul. al radio de la circunferencia dada, y el radio de la circunferencia verde. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos la siguiente relación:

Operando y despejando nuestra incógnita obtenemos:

Veamos ahora la circunferencia roja:

Para ello dibujamos los segmentos que unen los centros, y el radio al punto de tangencia con el triángulo, obteniendo dos triángulos rectángulos:

sangaku10_2

Llamemos a la distancia del centro de la circunferencia dada al punto de tangencia de la circunferencia roja con el triángulo, y llamemos al radio de la circunferencia roja que queremos calcular, aplicando Pitágoras obtenemos las siguientes relaciones:

Resolviendo el sistema llegamos a:

 

Construcción con regla y compás:

Partimos de una circunferencia con centro un punto cualquiera del plano. Dibujamos un diámetro cualquiera que determina dos puntos en la circunferencia. Dibujamos un triángulo equilátero en el radio de la derecha, y una circunferencia con centro en el punto medio del otro radio que forma nuestro diámetro.

sangaku10_im0

Empecemos con la circunferencia roja. Esta circunferencia será tangente al diámetro, tangente interior a la circunferencia dada y tangente exterior a la circunferencia interior que hemos dibujado. Vamos a considerar un problema auxiliar, como hicimos aquí.

Para ello reducimos la circunferencia interior a un punto, su centro, es decir le restamos su radio, esta misma distancia la aumentamos al radio de la circunferencia dada y trasladamos esa misma distancia la recta que determina el diámetro. Es decir, reducimos el problema a encontrar una circunferencia que pasa por un punto dado, interior de una circunferencia dada, tangente interior a esta y tangente a una recta secante a la circunferencia. Una vez encontrada esta, bastará restarle a su radio, el radio de la circunferencia interior para obtener la solución.

sangaku10_im1

Vamos a utilizar la inversión. Seguiremos el mismo proceso que explicamos en la entrada “círculos”

Os dejo el proceso hecho en geogebra:

El proceso para dibujar la circunferencia azul es el mismo, reduciendo el problema como hemos hecho con la circunferencia roja.

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