Partes enteras

sangaku10

El lado del cuadrado es el diámetro de la semicircunferencia, hallar los radios de las otras dos circunferencias.

Partimos de un cuadrado de lado l. Dibujamos la semicircunferencia de radio \frac{l}{2}, en el lado AB con centro en E. Dibujamos la recta tangente a la circunferencia desde C, la esquina superior derecha del cuadrado. La distancia desde la esquina al punto de tangencia I es exactamente l. Consideremos los triángulos siguientes:

sangaku10_1

Los triángulos ICE y CEB son iguales. Si llamamos \alpha al ángulo \hat{ECB}, entonces el ángulo \hat{ICB} será 2\alpha. El ángulo \alpha está en un triángulo rectángulo de catetos l y \frac{l}{2} luego verifica:

tg( \alpha) =\frac{\frac{l}{2}}{l}=\frac{1}{2} tg( 2\alpha) = \frac{2tg( \alpha)}{1-tg^2( \alpha)}=\frac{4}{3}

Consideremos ahora el triángulo rectángulo siguiente:

sangaku10_2

La recta tangente a la semicircunferencia corta al lado del cuadrado AD en el punto F. Trazando la paralela a AB por F obtenemos el punto J en el lado CB del cuadrado. Formamos el triángulo rectángulo FCJ. Llamemos y al segmento JB. Considerando el ángulo 2\alpha obtenemos:

\frac{4}{3}=\frac{l}{l-y}

Y por tanto:

y=\frac{l}{4}

Luego el segmento

DF=\frac{3l}{4}

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo FCJ para obtener la longitud de la hipotenusa h=FC :

h^2= \frac{(3l)^2}{4^2}+l^2=\frac{25 l^2}{4^2}

Luego:

FC=\frac{5l}{4}

Consideremos la circunferencia inscrita en este triángulo FDC

sangaku10_3

Llamemos R al radio de esta circunferencia. Sea K el punto de tangencia en el lado del cuadrado AD, sea Z el punto de tangencia en el lado DC y sea L el punto de tangencia en la recta FC.

Entonces se verifica:

FC=FL+LC FL=FK=FD-R=\frac{3l}{4}-R LC=ZC=l-R

Y sustituyendo en la primera obtenemos la igualdad:

\frac{3l}{4}-R+l-R=\frac{5l}{4}

Y por tanto llegamos a:

R=\frac{l}{4}

Dibujamos ahora la recta tangente a las dos circunferencias:

sangaku10_4

Llamemos Q y P a los puntos de tangencia de las circunferencias con esta recta, y sean V y S los puntos de corte con los respectivos lados del cuadrado. Sea O el punto de corte de las dos rectas tangentes.

El ángulo \hat{DFC} es igual al ángulo \hat{FCS} y por tanto igual a 2\alpha.

Los triángulos FDV y FVO son iguales, luego el ángulo \hat{VFO}=\alpha. Llamemos x a la longitud del segmento VQ. Como tg(\alpha)=1/2, tenemos la relación:

\frac{1}{2}=\frac{\frac{l}{4}+x}{\frac{3l}{4}}

Operando y simplificando llegamos a:

x=\frac{l}{8}

Y por tanto:

VO=\frac{l}{8}+\frac{l}{4}=\frac{3l}{8}

Además:

DV=VO=\frac{3l}{8} \Rightarrow VC=\frac{5l}{8}

Llamemos z a la longitud del segmento OC. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo VOC obtenemos la siguiente relación:

\frac{(5l)^2}{8^2}=\frac{(3l)^2}{8^2}+z^2

Operando:

OC=z=\frac{4l}{8}=\frac{l}{2}

Consideremos ahora el triángulo rectángulo COS, llamemos a a la longitud del segmento OS. Por ser el ángulo \hat{OCS}=2 \alpha tenemos:

\frac{4}{3}=\frac{a}{l/2} \Rightarrow OS=a=\frac{2l}{3}

Sea d la longitud de la hipotenusa CS. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo COS obtenemos:

d^2=\frac{l^2}{2^2}+\frac{(2l)^2}{3^2} \Rightarrow CS=d=\frac{5l}{6}

Y por último, consideremos la circunferencia inscrita en este triángulo:

sangaku10_5

Sea r el radio de esta circunferencia. Operando análogamente a cómo lo hicimos en la circunferencia anterior:

CS=CU+US CU=CM=CO-r=\frac{l}{2}-r US=SN=OS-r=\frac{2l}{3}-r (\frac{l}{2}-r)+(\frac{2l}{3}-r)=\frac{5l}{6}

Operando:

r=\frac{l}{6}

 

Construcción con regla y compás:

Dibujamos un cuadrado, la semicircunferencia y la recta tangente desde la esquina del cuadrado. Esta recta determina el triángulo donde está inscrita la circunferencia roja. Para dibujar esta circunferencia basta trazar las bisectrices para obtener el centro y desde este centro perpendicular a uno de los lados para obtener el radio y con él dibujar esta circunferencia.

Para dibujar la recta tangente a las dos circunferencias podemos seguir el método habitual que hemos mostrado en anteriores ocasiones (1), o bien trazar la bisectriz en DFC para obtener V y desde este punto trazar la tangente a la circunferencia roja que también es tangente a la semicircunferencia.

Esta recta tangente determina el otro triángulo donde está la otra circunferencia inscrita, luego basta trazar las bisectrices para encontrar el centro y desde este punto una perpendicular a uno de los lados para encontrar el radio y con este radio, dibujar la circunferencia.

(1) Trazar la recta tangente a dos circunferencias:

Se unen los centros. Con centro en la circunferencia mayor, trazamos una circunferencia con radio la diferencia de los dos radios dados. Obtenemos el punto de corte de la recta que une los centros con esta circunferencia que hemos trazado.

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Así obtenemos el segmento M_{1}K_{1}. Obtenemos su punto medio N_{1} ; desde este punto trazamos la circunferencia que pasa por los dos centros dados.

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Unimos el punto de corte que determinan estas dos circunferencias O_{1} con el centro de la semicircunferencia y esta recta determina el punto de tangencia.

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Trazamos una paralela a esta recta que pase por el centro de la otra circunferencia para obtener el otro punto de tangencia. Uniendo estos dos puntos tenemos la recta tangente.

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Explicación del método:

Dadas dos circunferencias, construimos un triángulo rectángulo con los dos centros, de manera que la hipotenusa sea el lado que une estos dos centros. Si además imponemos la condición de que el otro vértice O_{1} esté a distancia de la semicircunferencia, el radio de la más pequeña GQ, al trazar la paralela al cateto O_{1}G obtenemos la recta tangente.

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